Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點，，且橢圓過點，，且是橢圓上位于第一象限的點，且的面積.

（1）求點的坐標；

（2）過點的直線與橢圓相交于點，，直線，與軸相交于，兩點，點，則是否為定值，如果是定值，求出這個定值，如果不是請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題（1）通過已知條件首先求得橢圓的標準方程，再結合三角形的面積計算公式，即可求得的坐標；（2）將直線的方程設出，聯立直線方程與橢圓方程，通過計算說明是否為定值即可.

試題解析：（1）∵橢圓過點，，

∴，計算得，，∴橢圓的方程為.

∵的面積，∴，∴，代入橢圓方程.

∵，∴，∴；（2）法一：設直線的方程為，，，

直線的方程為，可得，即，

直線的方程為，可得，即.

聯立，消去，整理，得.

由，可得，，，

∴為定值，且.

法二：設，，，，直線，，的斜率分別為，，，由，得，，可得，，，

，

由，令，得，即，

同理得，即，則

∴為定值，該定值為.