Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，∠BAC≠60°，過(guò)點(diǎn)B、C分別作△ABC外接圓的切線BD、CE，且滿足，直線DE與AB、AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)F、G、CF與BD交于點(diǎn)M，CE與BG交于點(diǎn)N.證明：.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

如圖所示，設(shè)兩條切線BD與CE交于點(diǎn)K，則BK=CK.

結(jié)合BD=CE，知.

作∠BAC的平分線AL與BC交于點(diǎn)L，聯(lián)結(jié)LM、LN.

由，知

∠ABC=∠DFB，∠FDB＝∠DBC=∠BAC.

故.

再結(jié)合，BD=BC及內(nèi)角平分線定理可得

.

因此，.

同理，.

由此推出

∠ALM=180°-∠BAL=180°-∠CAL=∠ALN.

由及內(nèi)角平分線定理得：

.

故由AL=AL，∠ALM=∠ALN，LM=LN，得

.

從而，AM=AN.

證法2 由BD與EC均為△ABC外接圓的切線，知

∠DBC=∠BAC=∠ECB.

由BD=CE，得四邊形BCED為等腰梯形.

從而，.

又∠BFD＝∠ABC，∠FDB=∠DBC=∠BAC，

故.

設(shè)△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為.

由

.

由.

故由，得

. ①

在△ABM中，由∠ABM=∠ABC+∠BAC，及余弦定理得

. ②

用同樣方法計(jì)算CN和時(shí)，只需在上述BM和的表達(dá)式①、②中將b、c交換.

而由式②知的表達(dá)式關(guān)于b、c對(duì)稱，故

.