Question

【題目】已知函數 .

（1）討論函數在上的單調性；

（2）若，當時，，且有唯一零點，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

(1)求導后得,再對分四種情況討論可得函數的單調性;

(2)令=0,可知在上有唯一零點,所以 ①, 要使在上恒成立，且有唯一解，只需，即 ②，再聯立①②可知，,然后構造函數,利用導數可得.

（1）依題意，

若，則 ，

故函數在 上單調遞增；

若，令，解得 ；

若，則，則 ，

函數在上單調遞增；

若，則，則 ，

則函數在上單調遞減；

若，則，則函數在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上所述，時，函數在上單調遞增，

時，函數在上單調遞減，

時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）依題意，，而 ，

令，解得，

因為，故，

故在上有唯一零點 ；

又，

故 ①，

要使在上恒成立，且有唯一解，

只需，即 ②，

由①②可知，

令

顯然在上單調遞減，

因為，

故，

又在上單調遞增，

故必有