Question

（2012•東至縣模擬）已知a，b都是正實數，且a+b=2，求證：

a2

a+1

+

b2

b+1

≥1．

Answer 1

分析：所以原不等式等價于 a²+b²+ab（a+b）≥ab+a+b+1，將a+b=2代入，只需要證明ab≤1．再利用基本不等式可得

a2

a+1

+

a+1

4

≥a，

b2

b+1

+

b+1

4

≥b，相加即可證得不等式成立．

解答：證明：因為a，b都是正實數，所以原不等式等價于a²（b+1）+b²（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a²b+a²+ab²+b²≥ab+a+b+1．
 等價于 a²+b²+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
將a+b=2代入，只需要證明 a²+b²+ab=（a+b）²=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2

ab

，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．    …（12分）
另證：因為a，b都是正實數，所以

a2

a+1

+

a+1

4

≥a，

b2

b+1

+

b+1

4

≥b．   …（6分）
兩式相加得 

a2

a+1

+

a+1

4

+

b2

b+1

+

b+1

4

≥a+b，…（8分）
因為  a+b=2，所以

a2

a+1

+

b2

b+1

≥1．   …（12分）

點評：本題主要考查基本不等式的應用，用分析法和綜合法證明不等式，屬于中檔題．