Question

已知函數f(x)＝，其中a∈R.若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂(x₂≠x₁)，使得f(x₂)＝f(x₁)成立，則實數k的取值范圍是________．

Answer 1

(－∞，0]∪[8，＋∞)

由題知當x＝0時，f(x)＝k(1－a²)．又對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂(x₂≠x₁)，使得f(x₂)＝f(x₁)成立，所以函數f(x)必須是連續函數，即在x＝0附近的左、右兩側，其函數值相等．于是(3－a)²＝k(1－a²)，即(k＋1)a²－6a＋9－k＝0有實數解，所以Δ＝6²－4(k＋1)(9－k)≥0，解得k≤0或k≥8.