Question

【題目】已知函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若恰有一個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）或

【解析】

（1）利用列方程，解方程求得的值.

（2）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對分成等四種情況，分類討論的單調(diào)區(qū)間.

（3）結(jié)合（1）求得的的單調(diào)區(qū)間，判斷出的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合的取值范圍、零點的存在性定理進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）

由，得，得；

（2）

①當(dāng)時，令，得，令，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時，令，得，，

i）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

ii）當(dāng)時，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當(dāng)時，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

②i）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

ii）當(dāng)時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當(dāng)時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（3）①當(dāng)時，由（2）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又因為，所以恰有一個零點，符合題意；

②i）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，又，所以在恰有一個零點，符合題意；

ii）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

因為 ，所以是函數(shù)的一個零點，且，

當(dāng)時，取且，

則，

所以，所以在恰有一個零點，

所以在區(qū)間有兩個零點，不合題意；

iii）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

又因為，所以是函數(shù)的一個零點，且，

又因為，所以，

所以在區(qū)間有兩個零點，不合題意；

綜上的取值范圍為或.