Question

【題目】已知函數．

(1)當時，求證：；

(2)討論函數在R上的零點個數，并求出相對應的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）時，函數在上沒有零點；當時，函數在上有一個零點；當時，函數在上有兩個零點.

【解析】

（1）構造函數，利用導數研究函數的單調性和最小值，證明最小值大于.（2）先利用導數得到的最小值，然后分類討論，根據零點存在定理，得到每種情況下的零點情況.

（1）當時，，

令，則.

令，得.

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

所以是的極小值點，也是最小值點，

即

故當時，成立.

（2） ，由，得.

所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

所以是函數的極小值點，也是最小值點，

即.

當，即時，在上沒有零點.

當，即時，在上只有一個零點.

當，即時，因為，

所以在內只有一個零點；

由（1）得，令，得，

所以，于是在內有一個零點；

因此，當時，在上有兩個零點.

綜上，時，函數在上沒有零點；

當時，函數在上有一個零點；

當時，函數在上有兩個零點.