Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，側棱AA₁垂直于底面，D、E分別為BC、B₁C₁的中點，F為側棱BB₁上的一點．
（Ⅰ）求證：A₁E∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：平面ADF⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明四邊形A₁AED為平行四邊形，可得A₁E∥AD，由AD?平面AFD，A₁E?平面AFD，即可證A₁E∥平面ADF；
（Ⅱ）先證明AD⊥BC，AD⊥ED，從而可證AD⊥平面BCC₁B₁，即可證明平面ADF⊥平面BCC₁B₁．

解答： 證明：（Ⅰ）∵如下圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，側棱AA₁垂直于底面，D、E分別為BC、B₁C₁的中點
∴B1E

∥

.

BD，
∴ED

∥

.

A₁A
∴四邊形A₁AED為平行四邊形，可得A₁E∥AD
∵AD?平面AFD，A₁E?平面AFD，
∴A₁E∥平面ADF；
（Ⅱ）∵AB=AC，D、E分別為BC、B₁C₁的中點
∴AD⊥BC
∵側棱AA₁垂直于底面，由（I）得ED∥A₁A
∴AD⊥ED
又∵AD∩ED=D
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
又∵AD?平面AFD，
∴平面ADF⊥平面BCC₁B₁．

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于中檔題．