Question

【題目】已知正方體的棱長為為的中點，下列說法中正確的是（ ）

A.與所成的角大于

B.點到平面的距離為1

C.三棱錐的外接球的表面積為

D.直線與平面所成的角為

Answer 1

【答案】D

【解析】

對于A選項，取的中點為，可得，則為與所成的角，結合余弦定理即可判斷；

對于B選項，求出四棱錐的所有棱長，從而可得四棱錐的高即為點到平面的距離；

對于C選項，可判斷三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，根據勾股定理可求出四棱錐的外接球半徑，再根據球的表面積公式即可判斷；

對于D選項，設交平面于點，通過線面垂直的判定定理，可推出，從而可找出直線與平面所成的角，再利用余弦定理即可求得直線與平面所成的角的大小.

解：如圖，正方體的棱長為為的中點，

對于，取的中點為，連接，

則，則與所成的角即為與所成的角，即為，

在中，，，

，

由余弦定理得：，

即，而異面直線夾角為，即，

所以，故A不正確；

連接，

因為為矩形，且，，，

則四棱錐的頂點投影在底面的中心，即底面對角線的中點，

而底面的對角線為：，

則四棱錐的高為：，

即點到平面的距離為，故B不正確；

由圖可知，、、、的四點共面，

所以三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，

設四棱錐的外接球半徑為，

則，解得，

則三棱錐的外接球表面積，故C不正確；

連接，其中與交于點，

交平面于點，連接，

由于四點共面，平面在平面內，

則直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，

因為正方體，則，

而平面，則，且，

所以平面，平面，

則，則為直線與平面所成的角，

在中，，

則，得，

所以在中，，則，

即：直線與平面所成的角為，

所以直線與平面所成的角為，故D正確.

故選：D.