Question

已知函數f(x)=

1-ax

1+x

•e^x在x=0處的切線方程為x+y-1=0．
（1）求a的值；
（2）若f（x）＜1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，利用f′（0）=-1，能求出a的值．
（2）由f（x）=

1-x

1+x

ex(x≠-1) ，得f′(x)=

-x2-1

(1+x)2

ex，由f′（x）＜0，知函數f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上為減函數，由此能求出f（x）＜1時x的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-ax

1+x

x²，
∴f′(x)=[

-a(1+x)-(1-ax)

(1+x)2

+

1-ax

1+x

]ex
=

-ax2+(1-a)x-a

(1+x)2

ex，
由已知f′（0）=-1，∴-a=-1，得a=1．
（2）由（1）得f（x）=

1-x

1+x

ex(x≠-1) ，
則f′(x)=

-x2-1

(1+x)2

ex，
∴f′（x）＜0，因此函數f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上為減函數，
當x∈（-1，+∞）時，函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數，
又∵f（0）=1，
∴當x＞0時，f（x）＜f（0）=1，
當-1＜x＜0時，f（x）＞f（0）=1，
綜上所述，滿足f（x）＜1的x的取值范圍為：x＜-1，或x＞0．

點評：本題考查導數在最大值、最小值中的應用，考查推理論證能力，考查計算推導能力．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．