Question

【題目】已知函數，k∈R．

(I)求函數f(x)的單調區間；

(II)當k>0時，若函數f(x)在區間(1，2)內單調遞減，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）先求出函數的定義域，求導數后根據的取值通過分類討論求單調區間即可．（Ⅱ）將問題轉化為在(1，2)上恒成立可得所求．

詳解：（I）函數的定義域為．

由題意得，

（1）當時，

令，解得；令，解得．

（2）當時，

①當，即時，

令，解得或；令，解得．

②當時，恒成立，函數在上為單調遞增函數；

③當，即時，

令，解得或；令，解得．

綜上所述，

當時，函數的單調遞增區間為（0,1），單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為（0,1），，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．

（II）因為函數在（1，2）內單調遞減，

所以在（1,2）上恒成立．

又因為，則，

所以在（1,2）上恒成立，

即在（1,2）上恒成立，

因為，

所以，

又，

所以．

故k的取值范圍為．