Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點(diǎn)為F(2,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，b）且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA與直線PB的斜率的和為1，試判斷直線 l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） .

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，由點(diǎn)差法可得，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得，由此能求出橢圓C的方程．

（II）設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程得：由此利用韋達(dá)定理、直線斜率公式，結(jié)合已知條件能求出直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

（I）設(shè)，則，兩式相減得

,，

又MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，且M、N、F、Q共線

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>所以，

所以橢圓C的方程為.

（II）設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程得：

設(shè)則 ，

因?yàn)?/span>，所以，所以

所以，所以，所以

所以，因?yàn)?/span>，所以，

所以直線AB：，直線AB過(guò)定點(diǎn) ，

又當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，設(shè)AB：，則，因?yàn)?/span>

所以適合上式，所以直線AB過(guò)定點(diǎn).