Question

（2013•天津）已知首項為

3

2

的等比數列{a_n}不是遞減數列，其前n項和為S_n（n∈N^*），且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設Tn=Sn-

1

Sn

(n∈N*)，求數列{T_n}的最大項的值與最小項的值．

Answer 1

分析：（I）設等比數列的公比為q，由S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數列，可構造關于q的方程，結合首項為

3

2

的等比數列{a_n}不是遞減數列，求出q值，可得答案．
（II）由（I）可得S_n的表達式，由于數列為擺動數列，故可分類討論求出Sn-

1

Sn

在n為奇數和偶數時的范圍，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（I）設等比數列的公比為q，
∵S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數列．
∴S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅）
即4a₅=a₃，
故q²=

a5

a3

=

1

4

又∵數列{a_n}不是遞減數列，且等比數列的首項為

3

2

∴q=-

1

2

∴數列{a_n}的通項公式a_n=

3

2

×（-

1

2

）^n-1=（-1）^n-1•

3

2n

（II）由（I）得
S_n=1-（-

1

2

）ⁿ=

1+ 1 2n ，n為奇數 1- 1 2n ，n為偶數

當n為奇數時，S_n隨n的增大而減小，所以1＜S_n≤S₁=

3

2

故0＜Sn-

1

Sn

≤S1-

1

S1

=

3

2

-

2

3

=

5

6

當n為偶數時，S_n隨n的增大而增大，所以1＞S_n≥S₂=

3

4

故0＞Sn-

1

Sn

≥S2-

1

S2

=

3

4

-

4

3

=-

7

12

綜上，對于n∈N^*，總有-

7

12

≤Sn-

1

Sn

≤

5

6

故數列{T_n}的最大項的值為

5

6

，最小項的值為-

7

12

點評：本小題主要考查等差數列的概念，等比數列的概念、通項公式、前n項和公式，數列的基本性質等基礎知識，考查分類討論思想，考查運算能力、分析問題和解析問題的能力．