Question

【題目】田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事，設齊王的三匹馬分別為A、B、C，田忌的三匹馬分別為a、b、c．三匹馬各比賽一次，勝兩場者為獲勝．若這六匹馬比賽的優劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c． （Ⅰ）如果雙方均不知道對方馬的出場順序，求田忌獲勝的概率；
（Ⅱ）為了得到更大的獲勝概率，田忌預先派出探子到齊王處打探實情，得知齊王第一場必出上等馬．那么，田忌應怎樣安排出馬的順序，才能使自己獲勝的概率最大？

Answer 1

【答案】解：記A與a比賽為（A，a），其它同理． （Ⅰ）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：
（A，a）、（B，b）、（C，c）；（A，a）、（B，c）、（C，b）；
（A，b）、（B，c）、（C，a）：（A，b）、（B，a）、（C，c）；
（A，c）、（B，a）、（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）；
其中田忌獲勝的只有一種：（A，c）、（B，a）、（C，b），故田忌獲勝的概率為 ，
（Ⅱ）已知齊王第一場必出上等馬A，若田忌第一場必出上等馬a或中等馬b，則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必�。疄榱耸棺约韩@勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬c，后兩場有兩種情形：
①若齊王第二場派出中等馬B，可能的對陣為：（B，a）、（C，b）或（B，b）、（C，a）．
田忌獲勝的概率為 ，
②若齊王第二場派出下等馬C，可能的對陣為：（C，a）、（B，b）或（C，b）、．（B，a）．
田忌獲勝的概率也為 ．
所以，田忌按c、a、b或c、b、a的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大 ．
【解析】（Ⅰ）列出齊王與田忌賽馬的所有情況，從而求概率 ；（Ⅱ）已知齊王第一場必出上等馬A，若田忌第一場必出上等馬a或中等馬b，則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必�。疄榱耸棺约韩@勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬c，從而安排后兩場，求概率．