Question

【題目】已知函數(shù)， ，（其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ……）.

（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求導函數(shù)的導數(shù)得，再根據(jù)是否變號進行分類討論單調(diào)性：當時，導函數(shù)不變號，為單調(diào)遞增；當時，導函數(shù)先負后正，對應單調(diào)區(qū)間為先減后增（2）由題意得，結(jié)合（1）根據(jù)導函數(shù)單調(diào)性分類討論在處是否為極小值：當時， 在附近先減后增，為極小值；當時，按與零大小關(guān)系進行二次討論： ， 單調(diào)遞增； 在附近先減后增，為極小值；當時， ，無極值； 時， 單調(diào)遞減； 在附近先增后減，為極大值；綜上可得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：解: (Ⅰ) 因為，

所以，

當時， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當時，由，得，

時， ， 時， ，

所以的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為

綜上可得，當時， 在上單調(diào)遞增

當時， 的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（Ⅱ）由題意得， ，

（1）當時， 在上單調(diào)遞增，

所以當時， ，

當時， ，

所以在處取得極小值，符合題意.

（2）當時， ， 由（Ⅰ）知在單調(diào)遞增，

所以當時， ，當時， ，

所以在處取得極小值，符合題意.

（3）當時，由（Ⅰ）知在區(qū)間單調(diào)遞減， 在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以在處取得最小值，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在處無極值，不符合題意.

（4）當時， ，由（Ⅰ）知的減區(qū)間為，

所以當時， ，當時， ，

所以在處取得極大值，不符合題意，

綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.