Question

已知函數(a為實常數).
(1)若，求證：函數在(1，+．∞)上是增函數；
(2)求函數在[1，e]上的最小值及相應的值；
(3)若存在，使得成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）當時，，當，；
（2）當時，的最小值為1，相應的x值為1；當時，
的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，
相應的x值為．
（3）。

試題分析：（1）當時，，當，，
故函數在上是增函數．         4分
（2），當，．
若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數在上是增函數，此時．                6分
若，當時， ；當時，，此時
是減函數； 當時，，此時是增函數．故
．
若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數在上是減函數，此時．    8分
綜上可知，當時，的最小值為1，相應的x值為1；當時，
的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，
相應的x值為．        10分
（3）不等式，可化為．
∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，
因而（）      12分
令（），又，       14分
當時，，，
從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數，
故的最小值為，所以a的取值范圍是．      6分
點評：（1）利用導數研究函數的單調性，一定要先求函數的定義域；（2）利用導數求函數的單調區間，實質上就是求導數大于零或小于零的解集，這樣問題就轉化為解不等式的問題，尤其是含參不等式的解法要注意分類討論。二次含參不等式主要討論的地方有：開口方向，兩根的大小和判別式∆。