Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC= AA1=2，D是AC的中點．

（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求直線AC與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AB1交A1B于O，則O為AB1的中點，連接OD，

又D是AC的中點，∴OD∥B1C，

又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD；

（2）解：∵AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，

∴分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

∵AC=BC= AA1=2，

∴C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），

A1（2，0，4），

則 ， ， ，

設平面A1BD的一個法向量為 ，

由 ，取z=﹣1，得 ，

∴直線AC與平面A1BD所成角的正弦值為sinθ=| |=| |= ．

【解析】（1）連接AB1交A1B于O，則O為AB1的中點，連接OD，結合D是AC的中點，可得OD∥B1C，再由線面平行的判定得B1C∥平面A1BD；（2）由AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，進一步求出 及平面A1BD的一個法向量的坐標，由兩向量所成角的余弦值可得直線AC與平面A1BD所成角的正弦值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．