Question

【題目】已知A是圓錐的頂點，BD是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點，AC＝BD＝2，BC＝1，點M在線段BD上，且BM，平面ABC和平面ACD將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

（1）求證：CM⊥AD；

（2）求AC與底面所成的角；

（3）求該幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）60°（3）

【解析】

（1）在中通過解三角形得，從而可證與平面垂直（取中點，是圓錐的高），得線線垂直；

（2）由（1）是直線與底面所成的角，在三角形中求解即可；

（3）該幾何體是半個圓錐和一個三棱錐的組合體，由錐體體積公式計算．

（1）證明：∵C是底面圓周上一點，

∴BC⊥BD，

又∵，

∴∠BDC＝30°，

∴∠CBD＝60°，

在三角形BCM中，由余弦定理得：，

∴BC2＝BM2+CM2，

∴CM⊥BD，

設O為BD的中點，連接AO，則AO⊥平面BCD，

∵CM在平面BCD內，

∴CM⊥AO，

又AO∩BD＝O，

∴CM⊥平面BAD，

又AD在平面BAD內，

∴CM⊥AD；

（2）設O為BD的中點，連接CO，AO，則∠ACO為AC與底面所成的角，

由已知可得AB＝AD＝AC＝BD＝2，所以△ABD為正三角形，，

而CO＝1，所以，

∴AC與底面所成的角為60°；

（3）由題設知，∠CBD＝60°，

故△BCD的面積，

底面半圓的面積，

所以該幾何體的體積.