Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

2

（sin x+cos x），給出下列四個(gè)命題：
①存在a∈(-

π

2

，0)，使f（α）=

2

；
②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+φ）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

3π

4

對(duì)稱；
⑤函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度就能得到y(tǒng)=-2cos x的圖象．
其中正確命題的序號(hào)是（　　）

A．①②③

B．③④⑤

C．③④

D．②③⑤

Answer 1

分析：利用輔助角公式，我們可將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，由正弦型函數(shù)的值域，可以判斷①的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，可以判斷②的真假；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可以判斷③④的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象的平移變換法則，及誘導(dǎo)公式，可以判斷⑤的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵f（x）=

2

（sinx+cosx）=2sin（x+

π

4

），
當(dāng)α∈(-

π

2

，0)，α+

π

4

∈（-

π

4

，

π

4

）此時(shí)f（α）∈（-

2

，

2

），故①錯(cuò)誤；
若f（x-α）=f（x+α）恒成立，則2α為函數(shù)的一個(gè)周期，則2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k∈N*，故②錯(cuò)誤；
存在φ=-

π

4

+kπ，k∈Z，使函數(shù)f（x+?）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故③正確；
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=

π

4

+kπ，k∈Z，當(dāng)k=-1時(shí)，x=-

3π

4

，故④正確；
函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin（x+

π

4

+

π

4

）=2sin（x+

π

2

）=2cosx的圖象，故⑤錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對(duì)稱性，熟練掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．