Question

（本題滿分14分）
如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點，是中點，為上一點．
⑴求證：；
⑵確定點在線段上的位置，使//平面，并說明理由．
⑶當二面角的大小為時，求與底面所成角的正切值．

Answer 1

⑴見解析；⑵當為中點，即時，平面；
（3）．

本試題主要是考查了空間立體幾何中點線面的位置關系的綜合運用。
（1）利用線面垂直的性質定理，得到線線垂直的判定。
（2）要使平面，只需，只要建立直角坐標系，解得。
（3）作于，連結，∵面，四邊形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，
∴是二面角的平面角，那么利用直角三角形得到。
⑴∵面，四邊形是正方形，其對角線，交于點，
∴，．
∴平面，
∵平面，
∴                    
⑵當為中點，即時，平面，理由如下：
連結，由為中點，為中點，知，
而平面，平面，
故平面．
⑶作于，連結，
∵面，四邊形是正方形，
∴，
又∵，，∴，
∴，且，
∴是二面角的平面角，
即，
∵⊥面，∴就是與底面所成的角
連結，則，，
∴，
∴，∴，
∴
∴與底面所成角的正切值是．
另解：以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為，則，，，，，，，．（以下略）