Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數a的值；
（2）若f（x）在區間（﹣∞，2]，上是減函數，且對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）開口向上，對稱軸為x=a＞1，

∴f（x）在[1，a]是單調減函數，

∴f（x）的最大值為f（1）=6﹣2a；f（x）的最小值為f（a）=5﹣a2

∴6﹣2a=a，且5﹣a2=1

∴a=2

（2）解：函數f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．開口向上，對稱軸為x=a，

∵f（x）在區間（﹣∞，2]上是減函數，對稱軸大于等于2，

∴a≥2，a+1≥3，

f（x）在（1，a）上為減函數，在（a，a+1）上為增函數，

f（x）在x=a處取得最小值，f（x）min=f（a）=5﹣a2，

f（x）在x=1處取得最大值，f（x）max=f（1）=6﹣2a，

∴5﹣a2≤f（x）≤6﹣2a，

∵對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

∴6﹣2a﹣（5﹣a2）≤4，解得：﹣1≤a≤3；

綜上：2≤a≤3

【解析】（1）確定函數的對稱軸，從而可得函數的單調性，利用f（x）的定義域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求實數a的值．（2）可以根據函數f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2 ． 開口向上，對稱軸為x=a，可以推出a的范圍，利用函數的圖象求出[1，a+1]上的最值問題，對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，從而求出實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．