Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若直線與曲線的交點的橫坐標為，且，求整數所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）求出導函數，根據的值分下、負、0進行討論，可得的正負，從而得單調性；

（2）即方程的解，由于，方程變形為，這樣只要研究函數的零點可能在哪個區間即可，由導數知是和上的單調增函數，計算可得結論．

試題解析：

（1）解： ，∴，

①若時， 在上恒成立，所以函數在上單調遞增；

②若時，當時， ，函數單調遞增，

當時， ，函數單調遞減；

③若時，當時， ，函數單調遞減，

當時， ，函數單調遞增．

綜上，若時， 在上單調遞增；

若時，函數在內單調遞減，在區間內單調遞增；

當時，函數在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，

（2）由題可知，原命題等價于方程在上有解，

由于，所以不是方程的解，

所以原方程等價于，令，

因為對于恒成立，

所以在和內單調遞增．

又，

所以直線與曲線的交點有兩個，

且兩交點的橫坐標分別在區間和內，

所以整數的所有值為-3，1．