Question

（2013•醴陵市模擬）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，AD=2，AB=1．SP與平面ABCD所成角為

π

4

． 
（1）求證：平面SPD⊥平面SAP；
（2）求三棱錐S-APD的體積．

Answer 1

分析：（1）先證明SA⊥PD，再證明AP⊥PD，利用線面垂直的判定，可得PD⊥平面SAP，根據面面垂直的判定，即可證得結論；
（2）利用三棱錐S-APD的體積=

1

3

×S△APD×SA，可得結論．

解答：（1）證明：∵SA⊥底面ABCD，PD?底面ABCD
∴SA⊥PD
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，P為BC邊的中點，∴AP=PD=

2

因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
∵SA∩AP=A
∴PD⊥平面SAP
∵PD?平面SPD，
∴平面SPD⊥平面SAP；
（2）三棱錐S-APD的體積=

1

3

×S△APD×SA=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

點評：本題考查線面、面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．