Question

【題目】為了培養學生的數學建模和應用能力，某校組織了一次實地測量活動，如圖，假設待測量的樹木AE的高度H（m），垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三點共線），試根據上述測量方案，回答如下問題：

（1）若測得α=60°、β=30°，試求H的值；
（2）經過分析若干次測得的數據后，大家一致認為適當調整標桿到樹木的距離d（單位：m），使α與β之差較大時，可以提高測量精確度．
若樹木的實際高度為8m，試問d為多少時，α﹣β最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABE中可得AD= ，

在Rt△ADE中可得AB= ，BD= ，

由AD﹣AB=DB，故得 ，

得：H= = =6．

因此，算出的樹木的高度H是6m．

（2）解：由題設知d=AB，得tanα= ，tanβ= = = ，

tan（α﹣β）= = = =

= ，（當且僅當d= ）時，取等號）

故當H=8時，d=4 ，tan（α﹣β）最大．

因為0＜β＜α＜ ，則0＜α﹣β＜ ，所以當d=4 時，α﹣β最大．

【解析】1、由題意可知，在Rt△ABE中可得AD= , 在Rt△ADE中可得AB=, BD= ，根據,即可得到H的值。
2、先用d分別表示出和，利用兩角和的正切公式求得tan（α﹣β），整理成基本不等式的形式，再根據基本不等式求出最大值α﹣β。