Question

【題目】已知函數f（x）= +ax，x＞1．
（1）若函數f（x）在 處取得極值，求a的值；
（2）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有兩個不等實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= +a，由題可知 ，

經檢驗a=2，符合題意

（2）解：將方程（2x﹣m）lnx+x=0兩邊同除lnx得（2x﹣m）+ =0，

整理得 +2x=m，即函數f（x）與函數y=m在（1，e]上有兩個不同的交點

f（x）= +2x，f′（x）= ，

令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，

解得：lnx= 或lnx=﹣1（舍），即x= ，

當1＜x＜ 時，f′（x）＜0，當x＞ 時，f′（x）＞0，

可知，f（x）在（1， ）上單調遞減，在（ ，e）上單調遞增，

f（ ）=4 ，f（e）=3e，當x→1時， →+∞，∴4 ＜m≤3e，

實數m的取值范圍為（4 ，3e]

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出a的值，檢驗即可；（2）整理得 +2x=m，即函數f（x）與函數y=m在（1，e]上有兩個不同的交點，由f（x）= +2x的單調性求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．