Question

如圖，直角梯形中，，，，，，過作，垂足為.、分別是、的中點．現(xiàn)將沿折起，使二面角的平面角為.

（1）求證：平面平面；
（2）求直線與面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）求直線與面所成角的正弦值為.

試題分析：（1）利用折疊前以及、在同一平面內，得到在折疊后，由已知條件，結合直線與平面垂直的判定定理可以證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）解法一是利用空間向量法，即以點為坐標原點，、分別為軸、軸建立空間坐標系，將二面角為進行適當轉化，再利用空間向量法求出直線與面所成角的正弦值；解法二是利用到（1）中的結論平面，只需作交于點，于是確定直線與面所成角為，借助點為的中點從而得到為中位線，于是確定點為的中點，連接，在直角三角形中計算出.
試題解析：（1）證明：DEAE，CEAE，，
 AE平面，   3分
 AE平面，平面平面．  5分
（2）（方法一）以E為原點，EA、EC分別為軸，建立空間直角坐標系  6分
DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，  7分
，，，
A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．  9分
、分別是、的中點，F，G   10分
=，=，  11分
由（1）知是平面的法向量，    12分
設直線與面所成角，則，
故求直線與面所成角的正弦值為．   14分（列式1分，計算1分）
（方法二）作，與相交于，連接  6分
由（1）知AE平面，所以平面，是直線與平面所成角  7分
是的中點，是的中位線，，  8分
因為DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即= 9分
在中，由余弦定理得，
（或）  11分（列式1分，計算1分）
平面，所以，在中，   13分
所以直線與面所成角的正弦值為  14分