Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD= ．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因?yàn)樗睦忮FP﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
所以PD2=PA2+AD2 ， 所以PA⊥AD
又PA⊥CD，AD∩CD=D
所以PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：四棱錐P﹣ABCD的底面積為1，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以四棱錐P﹣ABCD的高為1，
所以四棱錐P﹣ABCD的體積為：
【解析】（Ⅰ）根據(jù)底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，以及勾股定理，證明PA⊥AD，再根據(jù)PA⊥CD，AD∩CD=D，即可證明PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根據(jù)四棱錐P﹣ABCD的底面積為1，高為PA，即可求出四棱錐P﹣ABCD的體積．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．