Question

【題目】定義數列，如果存在常數，使對任意正整數，總有，那么我們稱數列為“—擺動數列”．

（）設， ， ，判斷數列， 是否為“—擺動數列”，并說明理由；

（2）已知“—擺動數列”滿足： ，求常數的值.

Answer 1

【答案】（1）不是， 是；（2）.

【解析】試題分析：（1）假設數列是“—擺動數列”，由定義知存在常數，總有對任意成立，通過給取值說明常數不存在即可，對于數列，通過觀察取，然后按照定義論證即可；（2）根據數列為“—擺動數列”，及，可推出，由此可推出，同理可推出，從而不等式可證.

試題解析：（）假設數列是“—擺動數列”，即存在常數，總有對任意成立，取時，則，取時，則，顯然常數不存在,

所以數列不是“—擺動數列”，

由于，所以對任意成立，其中，

所以數列是“—擺動數列”.

（）由于， ，數列為“—擺動數列”，

所以存在常數滿足，使得對任意正整數，總有成立，

且有成立，則成立，

所以， ，

所以，

即，解得，

即，

又由得，解得，

即，

綜上可得．