Question

【題目】已知拋物線C：y=x2 ， 點P（0，2），A、B是拋物線上兩個動點，點P到直線AB的距離為1．
（1）若直線AB的傾斜角為 ，求直線AB的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直線AB的傾斜角為 ，tan = ，

設直線AB的方程為：y= x+m，

則點P（0，2）到直線AB的距離為

d= =1，

解得m=0或m=4；

∴直線AB的方程為y= x或y= x+4

（2）解：設直線AB的方程為y=kx+m，

則點P到直線AB的距離為d= =1，

即k2+1=（m﹣2）2；

由 ，消去y得x2﹣kx﹣m=0，

由根與系數的關系得x1+x2=k，x1x2=﹣m；

∴|AB|2=（1+k2）[ ﹣4x1x2]=（1+k2）（k2+4m）=（m﹣2）2（m2+3），

設f（m）=（m﹣2）2（m2+3），

則f′（m）=2（m﹣2）（2m2﹣2m+3），

又k2+1=（m﹣2）2≥1，

∴m≤1或m≥3，

∴當m∈（﹣∞，1]時，f′（m）＜0，f（m）是單調減函數；

當m∈[3，+∞）時，f′（m）＞0，f（m）是單調增函數；

∴f（m）min=f（1）=4，

∴|AB|的最小值為2

【解析】（1）由直線AB的傾斜角為 設出直線AB的方程，

根據點P到直線AB的距離求出m的值，從而寫出直線方程；（2）設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立，

利用根與系數的關系和點P到直線AB的距離，

得出k、m的關系，再求|AB|2的最小值即可．