Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點．

（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析.

試題分析：（1）直線與平面的平行有兩種方法證明第一是在平面內找一條直線與該平面平行，就如本題的證明.E點是中點所以找到PB的中點即可.另外也可以通過平面與平面平行來證明.（2）直線與平面的垂直是要證明該直線與平面內兩條相交直線垂直.DE垂直于PA較好證.另外一條又要通過直線AB垂直平面PAD來證明即可.這類題型主要思路是線線關系，線面關系，面面關系之間相互轉化.
試題解析：（1）設PB的中點為F，連結EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝．
故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF．
又ED平面PBC，CF平面PBC，
故DE∥平面PBC．
（2）因為PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD．
又因為AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD．
ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E為PA的中點，故ED⊥PA；
PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB．