Question

如圖，四棱錐中，面面，底面是直角梯形，側面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判斷與的位置關系；
（2）求三棱錐的體積；
（3）若點是線段上一點，當//平面時，求的長.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、線面平行、線線平行的判定，在解題過程中還遇到了等腰直角三角形和直角梯形以及相似三角形等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.第一問，取中點，連結，因為是等腰直角三角形，所以，因為是直角梯形且，所以四邊形為正方形，所以，所以平面，所以；第二問，先利用面面垂直，可得到線面垂直，得到錐體的高，用等體積法將轉化為,再利用體積公式求值；第三問，先在面內找到線，這是由于// 平面，再利用相似三角形，得到邊長的關系，所以，所以.
試題解析：（1）證明：取中點，連結，．
因為，所以．
因為四邊形為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以．
所以平面．    所以 ．             4分
（2）由，面面易得
所以，       8分
（3）解：連接交于點，面面.
因為//平面，所以//．
在梯形中，有與相似，
可得
所以，               12分