Question

【題目】某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產A，B兩種奶制品.生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1 000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1 200元.要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍，設備每天生產A，B兩種產品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數量W(單位：噸)是一個隨機變量，其分布列為

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個隨機變量.

(I)求Z的分布列和均值；

(II)若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的分布列為：

	8160	10200	10800
	0．3	0．5	0．2

；（Ⅱ）0．973．

【解析】（Ⅰ）設每天兩種產品的生產數量分別為，相應的獲利為，

則有（1）

目標函數為．

當時，（1）表示的平面區域如圖1，三個頂點分別為．

將變形為，

當時，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

當時，（1）表示的平面區域如圖2，三個頂點分別為．

將變形為，

當時，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

當時，（1）表示的平面區域如圖3，

四個頂點分別為．

將變形為，

當時，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

故最大獲利的分布列為

	8160	10200	10800
	0．3	0．5	0．2

因此，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率，

由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為