Question

如圖所示，中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，離心率為

21

3

的雙曲線C經過點P （6，6），動直線l經過點（0，1）與雙曲線C交于M、N兩點，Q為線段MN的中點．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若E點為（1，0），是否存在實數λ使

EQ

=λ

A2P

，若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的離心率為

21

3

知，

c

a

= 

21

3

，根據雙曲線C經過點P （6，6），知P點坐標滿足雙曲線方程，代入，又得到一個含a，b的等式，再根據a，b，c的關系式，可解出a，b，求出雙曲線C的標準方程．
（2）先假設存在實數λ使

EQ

=λ

A2P

，設出M，N，點的坐標，再用M，N點坐標表示Q點坐標，設直線l的方程，把直線l的方程代入（1）中所求雙曲線方程，求x₁+x₂，x₁x₂，根據

EQ

=λ

A2P

，可得關于k的方程，解方程，若能求出k值，則存在，若不能求出，則不存在．

解答：解：（1）設雙曲線為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由

c

a

=

21

3

得：b²=

4

3

a²，∵

36

a2

-

3×36

4a2

=1．∴a²=9，b²=12．
∴所求方程為

x2

9

-

y2

12

=1．
（2）設M（x₁，y₁ ），N（x₂，y₂ ），Q（x₀，y₀ ），l：y=kx+1．
由

y=kx+1

得：（4-3k²）x²-6kx-39=0．∴

4-3k2≠0 △＞0

得：
-

13

3

＜k＜

13

3

，且k≠±

2 3

3

．
又x₁+x₂=

6k

4-3k2

，x₀=

x1+x2

2

=

3k

4-3k2

，y₀=kx₀+1=

4

4-3k2

∴Q（

3k

4-3k2

，

4

4-3k2

）．∴

EQ

=（

3k

4-3k2

-1，

4

4-3k2

），

A2P

=（3，6）．
而

EQ

=λ

A2P

，∴6（

3k

4-3k2

-1）-3×

4

4-3k2

=0．∴k²+k-2=0，
∴k=1或-2．
而-2∉（-

13

3

，

13

3

），∴k=1，

EQ

=（2，4），∴3λ=2，λ=

2

3

，
∴λ存在，值為

2

3

，使

EQ

=λ

A2P

．

點評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及向量與圓錐曲線的綜合來解存在性問題．