Question

 

如圖所示，中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，離心率為的雙曲線C經過點P (6 , 6)，

動直線l經過點(0 , 1)與雙曲線C交于M、N兩點，Q為線段MN的中點.

(1) 求雙曲線C的標準方程；

(2) 若E點為(1 , 0)，是否存在實數λ使 =λ，若存在，

求λ值；若不存在，說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1) 設雙曲線為：(a >0，b >0)，

由 = 得：b² = a²，∵.∴a² = 9，b² = 12.

∴所求方程為.                             (4分)

 (2) 設M(x₁ , y₁ )，N(x₂ , y₂ )，Q(x₀ , y₀ )，l：y = kx + 1.

由得：(k²)xkx - 39 = 0. ∴得：

- < k < ，且k≠.                       (6分)

又x₁ + x₂ =，x₀ = =，y₀= kx₀+1=

∴Q(,).∴ = (-1,)， = (3 , 6).      (8分)

而 =λ，∴6(-1)- 3×=0. ∴k²+k - 2 = 0，

∴k = 1或-2.                                        (10分)

而-2(- , )，∴k =1， =(2 , 4)，∴3λ= 2，λ= ，

∴λ存在，值為，使 =λ.                     (12分)