Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C1： 的離心率為 ，拋物線C2：x2=4y的焦點F是C1的一個頂點．

（I）求橢圓C1的方程；
（II）過點F且斜率為k的直線l交橢圓C1于另一點D，交拋物線C2于A，B兩點，線段DF的中點為M，直線OM交橢圓C1于P，Q兩點，記直線OM的斜率為k'．
（i）求證：kk'=﹣ ；
（ii）△PDF的面積為S1 ， △QAB的面積為是S2 ， 若S1S2=λk2 ， 求實數λ的最大值及取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C1： 的離心率為 ，
拋物線C2：x2=4y的焦點F是C1的一個頂點．
∴ ，解得a=2，c= ，
∴橢圓C1的方程為 ．
（Ⅱ）（i）證明：由題意設直線l的方程為y=kx+1，（k≠0），設點D（x0 ， y0），
由 ，得（4k2+1）x2+8kx=0，
解得 ， ，∴D（ ， ），M（ ），
，∴kk′=﹣ ．
（ii）解：由（i）知D（ ， ），
又F（0，1），∴|DF|= = ，
由 ，得x2﹣4kx﹣4=0，
，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1+x2=4k，
∴|AB|= ，
由 ，得（4k2+1）y2﹣1=0， ，
設P（x3 ， y3），Q（﹣x3 ， ﹣y3），
由題意得 ， ，
∴P（﹣ ），Q（ ，﹣ ），
∴點P到直線kx﹣y+1=0的距離為：
d1= = ，
點Q到直線kx﹣y+1=0的距離為：
d2= = ，
∴S1= |DF|d1= = ，
S2= = = ，
∴ = = ≤ = ，
當且僅當3k2=k2+1，即k= 時，取等號，
∴λ的最大值為 ，此時直線l的方程為y= ．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為 ，拋物線C2：x2=4y的焦點F是C1的一個頂點，列出方程組，求出a=2，b=1，由此能求出橢圓C1的方程．（Ⅱ）（i）由題意設直線l的方程為y=kx+1，（k≠0），由 ，得（4k2+1）x2+8kx=0，由此求出D（ ， ），M（ ），由此能證明kk′=﹣ ．
（ii）由D（ ， ），F（0，1），得|DF|= ，由 ，得x2﹣4kx﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式求出|AB|=4（k2+1），由 ，得（4k2+1）y2﹣1=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，求出點P到直線kx﹣y+1=0的距離，點Q到直線kx﹣y+1=0的距離，由此能λ的最大值為 ，此時直線l的方程為y= ．