Question

【題目】如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF 2CE，G是線段BF上一點，AB=AF=BC=2．

（1）當GB=GF時，求證：EG∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；
（3）是否存在點G滿足BF⊥平面AEG？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點D，連接GD，CD，

又GB=GF，所以 ．

因為 ，所以 ，四邊形GDCE是平行四邊形，

所以CD∥EG

因為EG平面ABC，CD平面ABC

所以EG∥平面ABC．

（2）解：因為平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，

且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，

所以AF⊥AB，AF⊥BC

因為BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．

如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A﹣xyz．

則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）， 是平面ABF的一個法向量．

設平面BEF的法向量n=（x，y，z），則 ，即

令y=1，則z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以 ，

由題知二面角E﹣BF﹣A為鈍角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值為 ．

（3）解：因為 ，所以BF與AE不垂直，

所以不存在點G滿足BF⊥平面AEG．

【解析】（1）當GB=GF時，根據線面平行的判定定理即可證明EG∥平面ABC；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（3）根據線面垂直的判定定理和性質定理，建立條件關系即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．