Question

【題目】已知函數f（x）= ，曲線f（x）= 在點（e，f（e））處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直．（注：e為自然對數的底數） （Ⅰ）若函數f（x）在區間（m，m+1）上存在極值，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當x＞1時， ＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 因為f（x）= ，所以f′（x）= ，（1分） 又據題意，得f′（e）=﹣ ，所以﹣ =﹣ ，所以a=1．
所以f（x）= ，所以f′（x）=﹣ （x＞0）．
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為減函數．
所以函數f（x）僅當x=1時，取得極值．
又函數f（x）在區間（m，m+1）上存在極值，
所以m＜1＜m+1，所以0＜m＜1．
故實數m的取值范圍是（0，1）．
（Ⅱ）證明：當x＞1時， ＞ ，即為 ＞＞ ，
令g（x）= ，則g′（x）= ，
再令φ（x）=x﹣ln x，則φ′（x）=1﹣ = ．
又因為x＞1，所以φ′（x）＞0．所以φ（x）在（1，+∞）上是增函數．
又因為φ（1）=1．所以當x＞1時，g′（x）＞0．所以g（x）在區間（1，+∞）上是增函數．
所以當x＞1時，g（x）＞g（1），又g（1）=2，故 ＞ ．
令h（x）= ，則h′（x）= ，
因為x＞1，所以 ＜0．所以當x＞1時，h′（x）＜0．
故函數h（x）在區間（1，+∞）上是減函數．又h（1）= ，
所以當x＞1時，h（x）＜ ，所以 ＞h（x），即 ＞ ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，求出a的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出m的范圍即可；（Ⅱ）問題轉化為 ＞ ，令g（x）= ，令h（x）= ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．