Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左右焦點，點為橢圓上的一動點，面積的最大值為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個交點為，點，證明：直線與直線關于軸對稱.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）根據離心率和面積的最大值為2，即可列出方程，即可求得結果；

（2）設出直線的方程，聯立橢圓方程，根據韋達定理，只需求證，則問題得證.

（1）因為橢圓的離心率為，

所以，即，又，所以，

因為面積的最大值為2，所以，即，

又因為，所以，，

故橢圓的方程為

（2）由（1）得，

當直線的斜率為時，符合題意，

當直線的斜率不為時，

設直線的方程為，代入消去整理得：

，易得

設，則，

記直線的斜率分別為，則

所以，因此直線與直線關于軸對稱.