Question

【題目】如圖，某十字路口的花圃中央有一個底面半徑為的圓柱形花柱，四周斑馬線的內側連線構成邊長為的正方形.因工程需要，測量員將使用儀器沿斑馬線的內側進行測量，其中儀器的移動速度為，儀器的移動速度為.若儀器與儀器的對視光線被花柱阻擋，則稱儀器在儀器的“盲區”中.

（1）如圖，斑馬線的內側連線構成正方形，儀器在點處，儀器在上距離點處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區”中，并說明理由；

（2）如圖，斑馬線的內側連線構成正方形，儀器從點出發向點移動，同時儀器從點出發向點移動，在這個移動過程中，儀器在儀器的“盲區”中的時長為多少？

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）建立平面直角坐標系，求得點、的坐標，進而可得出直線的方程，求出原點到直線的距離，判斷直線與花柱所在圓的位置關系，由此可得出結論；

（2）建立平面直角坐標系，求出、、、的坐標，假設儀器在儀器的“盲區”中的時長為，用表示點、的坐標，并求出直線的方程，利用圓心到直線的距離可得出關于的不等式，求出的取值范圍，由此可得出結果.

（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，所以，

所以直線的方程是，即，

故圓心到直線的距離，

所以圓與直線相交，故儀器在儀器的“盲區”中；

（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，

則，，，.

依題意知起始時刻儀器在儀器的“盲區”中.

假設儀器在儀器的“盲區”中的時長為，則，，

所以直線的斜率，

故直線的方程是，即，

從而點到直線的距離，

整理得，解得，結合時間，得.

答：儀器在儀器的“盲區”中的時長為.