Question

若a≥0，b≥0，且當

x≥0 y≥0 x+y≤1

時，恒有ax+by≤1，求以a，b為坐標的點P（a，b）所形成的平面區域的面積．

Answer 1

分析：作出不等式組對應的平面區域，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超過1即可，然后利用平移確定a，b滿足的條件，即可求出點P（a，b）所形成的平面區域的面積．

解答：解：作出線性約束條件

x≥0 y≥0 x+y≤1

對應的可行域如圖所示，
在此條件下，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超過1即可．
令z=ax+by，則y=-

a

b

x+

z

b

．
∵a≥0，b≥0，
∴若①-1＜-

a

b

≤0時（如圖1），此時直線y=-

a

b

x+

z

b

經過點A（0，1）時，
直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，對應的z也最大，將（0，1）代入z=ax+by得b≤1，
若②-

a

b

≤-1時（如圖2），此時直線y=-

a

b

x+

z

b

經過點B（1，0）時，
直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，對應的z也最大，將（1，0）代入z=ax+by得a≤1．
即

0≤a≤1 0≤b≤1

，此時對應的可行域如圖，
∴以a，b為坐標的點P（a，b）所形成的面積為1．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃問題的基本方法．