Question

設(shè)命題p：函數(shù)f(x)=x2-2ax與g(x)=x+

a

x

在區(qū)間[1，2]都是減函數(shù)．
命題q：函數(shù)y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞）．
若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：若p∨q為真，p∧q為假即p與q一真一假，先求出p和q都是真時(shí)a的范圍，再分p真q假和p假q真兩種情況處理．

解答：解：設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x²-2ax在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，所以f（x）的對(duì)稱軸x=a≥2；
函數(shù)g(x)=x+

a

x

在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，g′(x)=1-

a

x2

≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
所以a≥x²在區(qū)間[1，2]上恒成立，只要a≥4即可．
所以命題p為真時(shí)a≥4；p為假時(shí)，a＜4．
命題q：函數(shù)y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞），
∴x²-2x+a≥9很成立，只要（x²-2x+a）_min≥9．
而（x²-2x+a）_min=a-1，∴a-1≥9，a≥10
所以命題q為真時(shí)，a≥10，q為假時(shí)，a＜10．
若p∨q為真，p∧q為假即p與q一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)a≥4且a＜10解得10＞a≥4；
當(dāng)p假q真時(shí)a＜4且a≥10此時(shí)a無解．
綜上所述，a的取值范圍是[4，10）．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍問題和對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域問題．
二次函數(shù)單調(diào)性考慮對(duì)稱軸，其他比較復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性常用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)≥0或≤0恒成立．