Question

【題目】已知：函數f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．

（1）若f（1）＝2，求函數f（x）的最大值；

（2）若a＝﹣1，正實數x1，x2滿足f（x1）+f（x2）＝0，證明：．

Answer 1

【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）證明見解析

【解析】

（1）計算得到，求導得到函數的單調區間，再計算最大值得到答案.

（2）代入數據得到，得到，設得到函數的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，計算得到答案.

（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x，

∴f'（x）2x+3，

由f'（x）＞0得，0＜x＜2，有f'（x）＜0得，x＞2，

∴f（x）在（0，2）為增函數，在（2，+∞）為減函數，

∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2；

（2）證明：當a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x，

∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0，

∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2），

令h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1，

由h'（x）＞0得，t＞1，由h'（x）＜0得，0＜t＜1，

∴h（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，

∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，

∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0，

解得：．