Question

【題目】已知函數的極小值為．

（1）求實數k的值；

（2）令，當時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導數，研究函數的單調性，得極值，由極小值為求得值；

（2）由（1）得，令，同樣由（1）可得的單調性（導數利用（1）中結論），這樣得到關于u的不等式的解集應是單調遞增區間的子集，而，從而，接著要證題中不等式，可先證，這又可設，，換元后同樣由導數研究函數的單調性最值，證得不等式成立．

（1）顯然，，由題意得：

令得：

若，則當時，；

當時，，此時為極小值點，合題意．

由得：．

若，顯然不合題意．

所以．

（2）由題意得：，令

由（1）易知在單調遞減，且；在單調遞增

故關于u的不等式：的解集應是單調遞增區間的子集

又，從而

令

．

令，則

所以

顯然當時，；當時，

從而在單調遞增，在單調遞減

所以

又，所以，從而

于是，即

又

故．