Question

【題目】圓的方程為：，為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)在上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為，求的最大值，及直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），直線的方程為或.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，設(shè)，通過(guò)，可以得到

與的關(guān)系，與的關(guān)系，把代入圓的方程中，最后得到點(diǎn)的軌跡的方程。

（2）由題意易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，直線方程與點(diǎn)的軌跡的方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，可以得出的面積的表達(dá)式，最后利用基本不等式可以求出的最大值，直線的方程.

（1）設(shè)，則，設(shè)，，，因?yàn)?/span>，所以，把代入圓的方程得，所以的軌跡的方程為.

（2）由題意易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

聯(lián)立，，，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以面積有最大值為.

所以的面積為最大時(shí)，直線的方程為或.