Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是A1B1、A1A的中點．

（1）求 的長；
（2）求cos（ ）的值；
（3）求證A1B⊥C1M．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O﹣xyz．

依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），

∴

（2）解：依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．

∴ ， ， ， ，

∴cos＜

（3）證明：依題意得C1（0，0，2），M =（﹣1，1，﹣2）， = ，

∴ = ，

∴

【解析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我們可以以C為原點建立空間直角坐標系O﹣xyz．（1）求出B點N點坐標，代入空間兩點距離公式，即可得到答案；（2）分別求出向量 ， 的坐標，然后代入兩個向量夾角余弦公式，即可得到 ， ＞的值；（3）我們求出向量 ， 的坐標，然后代入向量數(shù)量積公式，判定兩個向量的數(shù)量積是否為0，若成立，則表明A1B⊥C1M
【考點精析】關于本題考查的異面直線及其所成的角，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系才能得出正確答案．