Question

（2012•江蘇）A．[選修4-1：幾何證明選講]
如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使BD=DC，連接AC，AE，DE．
求證：∠E=∠C．
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A的逆矩陣A-1=

- 1 4 3 4 1 2 - 1 2

，求矩陣A的特征值．
C．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
在極坐標中，已知圓C經(jīng)過點P（

2

，

π

4

），圓心為直線ρsin（θ-

π

3

）=-

3

2

與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．
D．[選修4-5：不等式選講]
已知實數(shù)x，y滿足：|x+y|＜

1

3

，|2x-y|＜

1

6

，求證：|y|＜

5

18

．

Answer 1

分析：A．要證∠E=∠C，就得找一個中間量代換，一方面考慮到∠B，∠E是同弧所對圓周角，相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到．從而得證．
B．由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，從而求出矩陣A的特征值．
C．根據(jù)圓心為直線ρsin（θ-

π

3

）=-

3

2

與極軸的交點求出的圓心坐標；根據(jù)圓經(jīng)過點P（

2

，

π

4

），求出圓的半徑，從而得到圓的極坐標方程．
D．根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求證．

解答：A．證明：連接 AD．
∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
∴AD⊥BD（垂直的定義）．
又∵BD=DC，∴AD是線段BC 的中垂線（線段的中垂線定義）．
∴AB=AC（線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等）．
∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)）．
又∵D，E 為圓上位于AB異側(cè)的兩點，
∴∠B=∠E（同弧所對圓周角相等）．
∴∠E=∠C（等量代換）．
B、解：∵矩陣A的逆矩陣A-1=

- 1 4 3 4 1 2 - 1 2

，∴A=(A-1)-1=

2 3 2 1

 ]
∴f（λ）=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=λ²-3λ-4=0
∴λ₁=-1，λ₂=4
C、解：∵圓心為直線ρsin（θ-

π

3

）=-

3

2

與極軸的交點，
∴在ρsin（θ-

π

3

）=-中令θ=0，得ρ=1．∴圓C的圓心坐標為（1，0）．
∵圓C 經(jīng)過點P（

2

，

π

4

），∴圓C的半徑為PC=1．
∴圓 的極坐標方程為ρ=2cosθ．
D、證明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）-（2x-y）|≤2|x+y|+2|2x-y|，：|x+y|＜

1

3

，|2x-y|＜

1

6

，
∴3|y|＜

2

3

+

1

6

=

5

6

，
∴|y|＜

5

18

點評：本題是選作題，綜合考查選修知識，考查幾何證明選講、矩陣與變換、坐標系與參數(shù)方程、不等式證明，綜合性強