Question

如圖，在直三棱柱中，，是棱上的一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且∥平面。

(1)求證：；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

試題分析：（1）連接交于，由線面平行的性質(zhì)定理可得，,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)。同理可得為的中點(diǎn)，再根據(jù)全等證。（2）根據(jù)二面角的定義利用垂面法找到二面角，利用三角函數(shù)求出即可，詳見(jiàn)解析；(3)因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離,再根據(jù)求點(diǎn)到面的距離。
試題解析：（1）連接交于,,
,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，的中點(diǎn),,D為的中點(diǎn)。
（2）由題意,過(guò)A作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,
因?yàn)樵谌�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031526800471.png" style="vertical-align:middle;" /> 中，則,所以
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031525006719.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,
,
在中，，