Question

．設函數，x∈R，
其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）對于區間[-1，1]中的某個t，是否存在實數a，使得不等式g（t）≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對應的t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數轉換公式化簡f（x），在用配方法得出函數的最簡式，即可得出函數g（x）的表達式
（2）求出g（x）的導數，畫出表格判斷函數的單調性即可求出函數的最值，g（t）≤成立，即≥g（t）的最大值，求出a的范圍．
解答：解：（1）=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故當sinx=t時，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我們有g'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：

t	（-1，-）	-	（-，）		（，1）
g'（t）	+		-		+
G（t）	↗	極大值g（-）	↘	極小值g（）	↗

由此可見，g（t）在區間（-1，-）和（，1）單調增加，在區間（-，）單調減小，極小值為g（）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值為2
注意到：對任意的實數a，=∈[-2，2]
當且僅當a=1時，=2，對應的t=-1或，
故當t=-1或時，這樣的a存在，且a=1，使得g（t）≥成立．
而當t∈（-1，1]且t≠時，這樣的a不存在．
點評：該題考查函數的求導，以及利用函數的導數判斷函數的單調性進而求出函數的最值，還考查了三角函數的公式的利用，以及恒成立問題．