Question

已知數列的前n項和為，且，令.
（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）若，用數學歸納法證明是18的倍數．

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析，數列的通項公式為；
（2）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由可得，即可證明數列是等差數列，并可求出數列的通項公式，從而數列的通項公式可求；
（2）用數學歸納法證明時，注意先驗證成立，假設時成立，推出時亦成立即可．
（1）當時，，∴.          1分
當n≥2時，，
∴，即.           3分
∴.
即當n≥2時.          5分
∵，∴數列是首項為5，公差為3的等差數列.          6分
∴，即.            7分
∴.         8分
（2）.
①當時，，顯然能被18整除；               9分
②假設 時，能被18整除，             10分
則當時，

＝
＝
＝
＝，            13分
∵k≥1， ∴能被18整除.               14分
又能被18整除，
∴能被18整除，即當n＝k＋1時結論成立.            15分
由①②可知，當時，是18的倍數．             16分