Question

已知集合U={1，2，…，n}，n∈N^*．設集合A同時滿足下列三個條件：
①A⊆U；
②若x∈A，則2x∉A；
③若x∈C_UA，則2x∉C_UA．
（1）當n=4時，一個滿足條件的集合A是

{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}

；（寫出一個即可）
（2）當n=7時，滿足條件的集合A的個數為

16

．

Answer 1

分析：（1）n=4時，集合U={1，2，3，4}，1，4必須同屬于A，此時2屬于A的補集；或1，4必須同屬于A的補集，此時2屬于A；而對元素3與集合A的關系沒有限制，此時滿足條件的集合有2²=4個，列舉可得答案．
（2）n=7時，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，1，4必須同屬于A，此時2屬于A的補集；或1，4必須同屬于A的補集，此時2屬于A；3屬于A時，6屬于A的補集；3屬于A的補集時，6屬于A；而元素5，7沒有限制．此時滿足條件的集合有2⁴=16個．

解答：解：（1）n=4時，集合U={1，2，3，4}，
由①A⊆U；②若x∈A，則2x∉A；③若x∈C_UA，則2x∉C_UA．
當1∈A，則2∉A，即2∈C_UA，則4∉C_UA，即4∈A，但元素3與集合A的關系不確定
故A={1，4}，或A={1，3，4}
當2∈A，則4∉A，1∉A，但元素3與集合A的關系不確定
故A={2}，或A={2，3}
（2）n=7時，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，
由①A⊆U；②若x∈A，則2x∉A；③若x∈C_UA，則2x∉C_UA．
1，4必須同屬于A，此時2屬于A的補集；或1，4必須同屬于A的補集，此時2屬于A；
3屬于A時，6屬于A的補集；3屬于A的補集時，6屬于A；
而元素5，7沒有限制
故滿足條件的集合A共有：2⁴=16個
故答案為：{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}；16．

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系，其中根據集合A滿足的三個條件，分析U中各個元素與集合A的關系是解答的關鍵．